フラットサーブは何km/hまでなら入るのか？①2023-02-22
僕はフルスイングでサーブを打つと大抵オーバーするかさもなくばネットになってしまい、自分の背の低さや手足の短さを恨みます(;O;) 折角試行錯誤して速い球が打てるようになっても、体格のせいで入らないのでは意味がありません。
そこで今回は（何回かに分けて）、打点の高さによって何km/hまでなら完全なフラットサーブを入れる事が出来るのか？検証してみたいと思います。
直線軌道のサーブ
テニス界のうんちくとして「フラットサーブがネットを超えて相手のサービスエリア内に落ちるには、打点の高さが3ｍ近くないといけない。だからスピンを掛けないと入らない。」とよく言われます。しかしこの話は重力の影響を無視しており、実際にはボールの軌道は直線にはなりません。
とは言え、実際の軌道はこの直線軌道に重力による落下分を加えて求めるので、先ずはこの直線軌道がどうなるか計算してみました。
上図は3D CADでテニスコートを描いたものです。最初から結論が書いてありますが💦 順次説明します。
先ず前提条件として、話を簡単にする為に打点はベースラインのセンターマークの真上、落下ポイントは相手のサービスラインとセンターラインの交点とします。すると当然、ボールはネット中央の一番低い部分（0.914ｍ）の上空を通過します。つまり一番楽な条件です。
一方、テニスボールのサイズは直径6.54～6.86cm、半径だと3㎝ちょいです。なので若干余裕を見て、ボールの中心からネット上端まで4㎝（0.04m）あれば、ギリギリレットせずに通過出来る筈です。その場合、地面から見たボールの高さは、ネットの高さ（0.914m）に0.04m足して0.954mとなります。
ここで高さ0.954ｍ、底辺長さ6.4m（ネットからサービスラインの距離）の直角三角形が出来ました。これと相似形でサーバーのベースラインまで伸ばしていけば、打点の高さ（L）が判ります。よって関係式は；
6.4/0.954 = (6.4+11.885)/L
となるので、これを変形すると；
L = (6.4+11.885)*0.954/6.4 = 2.7256 ≒ 2.726 (m)
となります。確かにギリギリ一番低い所を通して2.7ｍちょいの打点なら、現実には3m近くないと入れるのは難しそうですね。この打点で無理なく打てる人の身長は大体どれくらいなんでしょうか？皆さんの打点の高さはどのくらいでしょうか？もし測った事が無ければ測ってみてください。
因みに僕は、身長も腕の長さも日本人男性の平均以下ですが、普段のサーブのインパクトの形を大体作って、ボール位置の高さを測ったら、2.4ｍ弱しかありませんでした(;´д｀)トホホ。それでも最初は2.3m位と書いていたのですが、測り方を替えて僅かに伸びました💦
どうやったかというと、伸縮出来る孫の手があったので、先ず自分のラケットのグリップエンドからスウィートスポットまでの長さに調整しました（約50㎝でした）。勿論この棒は自撮り棒や指示棒でも良いと思います。何なら50㎝の物差しでも。
そして壁の傍に立ち、その棒をラケットのように持ってサーブのインパクトの形を作り、棒の先端の高さにある何らかの目印を壁上に見つけます。後はコンベックス（鉄製の巻き尺）で地面からその目印までの高さを測ります。
ただ僕の場合は、偶々その高さが部屋の天井付近だったので判り易かったですが、そんなに都合よい目印が無かったり、男性の場合はそもそも天井の高さが足りないかも知れません。その場合は、分かり易い目印の高さになるように棒の長さを調整し、後でラケットのグリップエンドからスウィートスポットまでの長さと比較し、差分を足し引きしたら良いのではないでしょうか？
重力を考慮したサーブの軌道
という訳で、皆さんのサーブの打点はどの位の高さだったでしょうか？もしそれが思ったより低くても、ドッカン・フラットサーブを諦めるのはまだ早いw
冒頭で述べたように、スピンが全く掛かっていなくても、重力によってボールの軌道はドンドン下向きになり、全体として山なりの軌跡（所謂「放物線」）を描くからです。逆に言えば、弾道が直線になるのは速度が無限大の時だけです。速度が有限なら、速いほどボールは直線軌道に近くなり、遅いほど下に向かって垂れ下がるような軌道になります。まあ、あまり遅いと意味ないですけど💦
では実際にどの程度ボールが重力で落ちるのか？計算してみましょう。
皆さんが高校までに習ったニュートン力学によれば、地球上にある物体は皆、地球の重心に向かって引き寄せられます。つまり空中でモノを離せば下に「落ちる」訳ですが、地球がモノを引っ張り続けるので、その速度はドンドン増していきます。
この時の加速度は「重力加速度」(G)と呼ばれ、どんな物体でも一定（9.8m/s^2）です。という事は、ボールの落ち初め（サーブのインパクト）から着地迄の時間が判れば、「落ちる」距離が判るのです。
では先ず、ボールの速度をV、ボールの飛行距離をL、ボールの飛行時間をTとすると、次の式が成り立ちます。
L = VT
当たり前ですね。正確には飛行距離は放物線（2次関数）の長さですが、計算がややこしいのでざっくり直線軌道の長さを使います。
冒頭のテニスコートの図に戻って頂き、大きい方の直角三角形を考えます。この三角形の高さ、つまり打点の高さですが、3m弱は現実的ではないので、キリが良い2.5mとします。一方、底辺の長さは同じくベースラインから相手のサービスラインまでの距離＝(6.4+11.885)m です。すると斜線が飛行距離Lになるので、ピタゴラスの定理を使うと次の式が得られます；
L^2 = 2.5^2 + (6.4+11.885)^2
∴ L = 18.455 ≒ 18.5(m)
となります。次にボールの初速Vを仮に180km/h（=50m/s）とすると、飛行時間Tは;
T = L/V = 18.5 / 50 = 0.37 (s)
となります。最短コースとは言え、0.4秒足らずで到達するんですね。トッププロでもセンターに来ると読んでなければ、反応できない時間でしょう。
では、落下距離Lvはどうなるかというと、経過時間と速度のグラフの面積に一致します。一般的には積分で求めますが、この場合は等加速度運動なので、底辺が経過時間、高さが最終速度である三角形の面積が落下距離になります。つまり；
Lv=T*T*G=(0.37*0.37*9.8 )/2 = 0.67m
となります。勿論これは打点から67㎝下がったという意味では無く、斜め下に向かう直線軌道と比べて、最終的に（相手のサービスラインの位置で）67㎝下がったという事です。という事は、サーブを打ち出す方向を若干上向きにして、相手のサービスライン上に落ちるように打てば、ネットの上は十分なクリアランス（67㎝は無理だけど40㎝はいきそう）で通過できる筈です。
因みに、67㎝というと180㎞/hのサーブの割に落ちてると思いませんか？ところが「67㎝の高さからテニスボールを落としたら0.37秒で着地」と言われたら「まあそんなもんかな」と思うのではないでしょうか？重力って意外と強力ですね。
関数グラフでボールの軌道を描画する
これまでは、ボールが最終的にどの位落ちたかを計算しましたが、今度はインパクトから着地迄にどんな軌道を描くのか計算します。考え方は上と同じですが、打点からの距離を変数xにして、関数グラフのアプリで描画してみました。
上のグラフはテニスコートを真横から見た図で、X軸は地面、Y軸はコートの真ん中、つまりネットの位置です。赤い直線は速度∞の場合のボール軌道。青い曲線は上から180km/h、140km/h、100km/hの場合の軌道です。勿論、全て同じ角度で打ち出すとして計算しています。
ボール初速が100km/hだと流石に重力の影響は大きく、サービスライン地点の高さは、直線軌道の場合と比べ2m以上低くなっています。また100km/hと140km/hの比較でも高低差は1m以上ありますが、140km/hと180km/hでは（同じ40㎞/h違いなのに）50㎝くらいしか高低差がありません。理由はこのグラフが速度の2次関数になっているからです。つまり速度が遅くなるほどサーブの難易度が「加速度的」に下がっていくわけです。
試しに打ち出し角度をもう少し下げていくと、180km/hのサーブが何とか入りました（下図）。でもネットの上スレスレを通って粗サービスライン上に落ちるのですから、文字通り寸分の狂いも許されません。そして仮に初速を170km/hに落としても、軌跡が殆ど変わらないので難易度もあまり変わらないのです。
上ではボールの初速は3段階でしたが、徐々に変化させていくと軌道がどう変化するか、アニメーションで表現してみました。今回は判りやすいように打ち出し角度は水平にしたので、下に向かうベクトルは全て重力によるものです。
画面左端の数式の中で「v=○○」と表示されているのがボールの初速です（範囲は0~200km/h）。初速が0の時は当然真下に落ちるだけですが、速度が上がるにつれ軌道が持ち上がり、200km/hの時には大分水平に近くなっているのが判ります。
という訳で今回は、打ち出し角を手動で適当に動かし、サーブが入る軌道を探りました。しかしこれでは、理論式から計算したとは言えません。
そこで次回は、ボールがネット上を通過する時の高さ（x=0の時のyの値）を決め、打ち出し角を逆算したいと思います。そしてその結果から落下位置も判るので、結局何km/hまでならサービスボックスに入るのか算出できます。